高二數學第一教案單元組合分析

我們先看下面兩個問題.

(l)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，火車有4班，汽車有 2班，輪船有 3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?

因爲一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到達乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有 4十2十3=9種不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，，在第n類辦法中有mn種不同的方法.那麼完成這件事共有N=m1十m2十十mn種不同的方法.

(2) 我們再看下面的問題：

由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條.從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法?

這裏，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村後，再從B村到C村又有2種不同的走法.因此，從A村經B村去C村共有 3X2=6種不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，，做第n步有mn種不同的方法.那麼完成這件事共有N=m1 m2mn種不同的方法.

例1 書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書.

1)從中任取一本，有多少種不同的取法?

2)從中任取數學書與語文書各一本，有多少的取法?

解：(1)從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數學書，可以從6本書中任取一本，有6種方法;第二類辦法是從下層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法.根據加法原理，得到不同的取法的種數是6十5=11.

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法.

(2)從書架上任取數學書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一步取一本數學書，有6種方法;第二步取一本語文書，有5種方法.根據乘法原理，得到不同的取法的種數是 N=6X5=30.

答：從書架上取數學書與語文書各一本，有30種不同的方法.

練習： 一同學有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣

1)從中任取一枚，有多少種不同取法? 2)從中任取明清古幣各一枚，有多少種不同取法?

例2：(1)由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字允許重複三位數?

(2)由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字不允許重複三位數?

(3)由數字0，l，2，3，4，5可以組成多少個數字不允許重複三位數?

解：要組成一個三位數可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數字，從5個數字中任選一個數字，共有5種選法;第二步確定十位上的數字，由於數字允許重複，

這仍有5種選法，第三步確定個位上的數字，同理，它也有5種選法.根據乘法原理，得到可以組成的三位數的個數是N=5X5X5=125.

答：可以組成125個三位數.

練習：

1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不經過乙地到丙地有2條水路可走.

(1)從甲地經乙地到丙地有多少種不同的走法?

(2)從甲地到丙地共有多少種不同的走法?

2.一名兒童做加法遊戲.在一個紅口袋中裝着2O張分別標有數1、2、、19、20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數作爲被加數;在另一個黃口袋中裝着10張分別標有數1、2、、9、1O的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數作爲加數.這名兒童一共可以列出多少個加法式子?

3.題2的變形

4.由0-9這10個數字可以組成多少個沒有重複數字的三位數?

小結：要解決某個此類問題，首先要判斷是分類，還是分步?分類時用加法，分步時用乘法

其次要注意怎樣分類和分步，以後會進一步學習

練習

1.(口答)一件工作可以用兩種方法完成.有 5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成.選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法?

2.在讀書活動中，一個學生要從 2本科技書、 2本政治書、 3本文藝書裏任選一本，共有多少種不同的選法?

3.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開後共有多少項?

4.從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通.從甲地到丙地共有多少種不同的走法?

5.一個口袋內裝有5個小球，另一個口袋內裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同.

(1)從兩個口袋內任取一個小球，有多少種不同的取法?

(2)從兩個口袋內各取一個小球，有多少種不同的取法?

作業：

排列

【複習基本原理】

1.加法原理 做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二辦法中有m2種不同的方法，第n辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有

N=m1+m2+m3+mn

種不同的方法.

2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一 步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，，做第n步有mn種不同的方法，.那麼完成這件事共有

N=m1m2m3mn

種不同的方法.

3.兩個原理的區別：

【練習1】

1.北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同的機票?

2.由數字1、2、3可以組成多少個無重複數字的二位數?請一一列出.

【基本概念】

1. 什麼叫排列?從n個不同元素中，任取m( )個元素(這裏的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列

2. 什麼叫不同的排列?元素和順序至少有一個不同.

3. 什麼叫相同的排列?元素和順序都相同的排列.

4. 什麼叫一個排列?

【例題與練習】

1. 由數字1、2、3、4可以組成多少個無重複數字的三位數?

2.已知a、b、c、d四個元素，①寫出每次取出3個元素的所有排列;②寫出每次取出4個元素的所有排列.

【排列數】

1. 定義：從n個不同元素中，任取m( )個元素的所有排列的個數叫做從n個元素中取出m元素的排列數，用符號 表示.

用符號表示上述各題中的排列數.

2. 排列數公式： =n(n-1)(n-2)(n-m+1)

; ; ; ;

計算： = ; = ; = ;

【課後檢測】

1. 寫出：

① 從五個元素a、b、c、d、e中任意取出兩個、三個元素的所有排列;

② 由1、2、3、4組成的無重複數字的所有3位數.

③ 由0、1、2、3組成的無重複數字的所有3位數.

2. 計算：

① ② ③ ④ 排 列

一、複習：(引導學生對上節課所學知識進行復習整理)

1.排列的定義，理解排列定義需要注意的幾點問題;

2.排列數的定義，排列數的計算公式

或 (其中mn m,nZ)

3.全排列、階乘的意義;規定 0!=1

4.分類、分步思想在排列問題中的應用.

二、新授：

例1：⑴ 7位同學站成一排，共有多少種不同的排法?

解：問題可以看作：7個元素的全排列 =5040

⑵ 7位同學站成兩排(前3後4)，共有多少種不同的排法?

解：根據分步計數原理：7654321=7!=5040

⑶ 7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法?

解：問題可以看作：餘下的6個元素的全排列 =720

⑷ 7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種?

解：根據分步計數原理：第一步 甲、乙站在兩端有 種;第二步 餘下的5名同學進行全排列有 種 則共有 =240種排列方法

⑸ 7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種?

解法一(直接法)：第一步 從(除去甲、乙)其餘的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有 種方法;第二步 從餘下的5位同學中選5位進行排列(全排列)有 種方法 所以一共有 =2400種排列方法.

解法二：(排除法)若甲站在排頭有 種方法;若乙站在排尾有 種方法;若甲站在排頭且乙站在排尾則有 種方法.所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有 - + =2400種.

小結一：對於在與不在的問題，常常使用直接法或排除法，對某些特殊元素可以優先考慮.

例2 ： 7位同學站成一排.

⑴甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種?

解：先將甲、乙兩位同學捆綁在一起看成一個元素與其餘的5個元素(同學)一起進行全排列有 種方法;再將甲、乙兩個同學鬆綁進行排列有 種方法.所以這樣的排法一共有 =1440

⑵甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種?

解：方法同上，一共有 =720種.

⑶甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種?

解法一：將甲、乙兩同學捆綁在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因爲丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其餘的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有 種方法;將剩下的4個元素進行全排列有 種方法;最後將甲、乙兩個同學鬆綁進行排列有 種方法.所以這樣的排法一共有 =960種方法.

解法二：將甲、乙兩同學捆綁在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2 種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有 種方法.

解法三：將甲、乙兩同學捆綁在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因爲丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其餘的四個位置選擇共有 種方法，再將其餘的5個元素進行全排列共有 種方法，最後將甲、乙兩同學鬆綁，所以這樣的排法一共有 =960種方法.

小結二：對於相鄰問題，常用捆綁法(先捆後鬆).

例3： 7位同學站成一排.

⑴甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種?

解法一：(排除法) 解法二：(插空法)先將其餘五個同學排好有 種方法，此時他們留下六個位置(就稱爲空吧)，再將甲、乙同學分別插入這六個位置(空)有 種方法，所以一共有 種方法.

⑵甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種?

解：先將其餘四個同學排好有 種方法，此時他們留下五個空，再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個空有 種方法，所以一共有 =1440種.

小結三：對於不相鄰問題，常用插空法(特殊元素後考慮).

三、小結：

1.對有約束條件的排列問題，應注意如下類型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置;

⑵某些元素要求連排(即必須相鄰);

⑶某些元素要求分離(即不能相鄰);

2.基本的解題方法：

⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱爲優先處理特殊元素(位置)法(優限法);

⑵ 某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列後，再考慮相鄰元素的內部排列，這種方法稱爲捆綁法

⑶ 某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱爲插空法

⑷ 在處理排列問題時，一般可採用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑，這是學好排列問題的根基.

四、作業：《課課練》之排列 課時13

課題：排列的簡單應用(2)

目的：使學生切實學會用排列數公式計算和解決簡單的實際問題，進一步培養分析問題、解決問題的能力，同時讓學生學會一題多解.

過程：

一、複習：

1.排列、排列數的定義，排列數的兩個計算公式;

2.常見的排隊的三種題型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置優限法;

⑵某些元素要求連排(即必須相鄰)捆綁法;

⑶某些元素要求分離(即不能相鄰)插空法.

3.分類、分佈思想的應用.

二、新授：

示例一： 從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱節目一定不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法?

解法一：(從特殊位置考慮) 解法二：(從特殊元素考慮)若選： 若不選：

則共有 + =136080

解法三：(間接法) 136080

示例二：

⑴ 八個人排成前後兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在後排，則共有多少種不同的排法?

略解：甲、乙排在前排 ;丙排在後排 ;其餘進行全排列 .

所以一共有 =5760種方法.

⑵ 不同的五種商品在貨架上排成一排，其中a, b兩種商品必須排在一起，而c, d兩種商品不排在一起, 則不同的排法共有多少種?

略解：(捆綁法和插空法的綜合應用)a, b捆在一起與e進行排列有 ;

此時留下三個空，將c, d兩種商品排進去一共有 ;最後將a, b鬆綁有 .所以一共有 =24種方法.

⑶ 6張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學生，若要求師生相間而坐，則不同的坐法有多少種?

略解：(分類)若第一個爲老師則有 ;若第一個爲學生則有

所以一共有2 =72種方法.

示例三：

⑴ 由數字1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重複數字的正整數?

略解： ⑵ 由數字1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重複數字，並且比13 000大的正整數?

解法一：分成兩類，一類是首位爲1時，十位必須大於等於3有 種方法;另一類是首位不爲1，有 種方法.所以一共有 個數比13 000大.

解法二：(排除法)比13 000小的正整數有 個，所以比13 000大的正整數有 =114個.

示例四： 用1，3，6，7，8，9組成無重複數字的四位數，由小到大排列.

⑴ 第114個數是多少? ⑵ 3 796是第幾個數?

解：⑴ 因爲千位數是1的四位數一共有 個，所以第114個數的千位數應該是3，十位數字是1即31開頭的四位數有 個;同理，以36、37、38開頭的數也分別有12個，所以第114個數的前兩位數必然是39,而3 968排在第6個位置上，所以3 968 是第114個數.

⑵ 由上可知37開頭的數的前面有60+12+12=84個，而3 796在37開頭的四位數中排在第11個(倒數第二個)，故3 796是第95個數.

示例五： 用0，1，2，3，4，5組成無重複數字的四位數，其中

⑴ 能被25整除的數有多少個?

⑵ 十位數字比個位數字大的有多少個?

解： ⑴ 能被25整除的四位數的末兩位只能爲25，50兩種，末尾爲50的四位數有 個，末尾爲25的有 個，所以一共有 + =21個.

注： 能被25整除的四位數的末兩位只能爲25，50，75，00四種情況.

⑵ 用0，1，2，3，4，5組成無重複數字的四位數，一共有 個.因爲在這300個數中，十位數字與個位數字的大小關係是等可能的，所以十位數字比個位數字大的有 個.

三、小結：能夠根據題意選擇適當的排列方法，同時注意考慮問題的全面性，此外能夠藉助一題多解檢驗答案的正確性.

四、作業：3+X之 排列 練習

組 合 ⑴

課題：組合、組合數的概念

目的：理解組合的意義，掌握組合數的計算公式.

過程：

一、複習、引入：

1.複習排列的有關內容：

定 義特 點相同排列公 式

排 列

以上由學生口答.

2.提出問題：

示例1： 從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法?

示例2： 從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法?

引導觀察：示例1中不但要求選出2名同學，而且還要按照一定的順序排列，而示例2只要求選出2名同學，是與順序無關的.

引出課題：組合問題.

二、新授：

1.組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素併成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

注：1.不同元素 2.只取不排無序性 3.相同組合：元素相同

判斷下列問題哪個是排列問題哪個是組合問題：

⑴ 從A、B、C、D四個景點選出2個進行遊覽;(組合)

⑵ 從甲、乙、丙、丁四個學生中選出2個人擔任班長和團支部書記.(排列)

2.組合數的概念：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號 表示.

例如：示例2中從3個同學選出2名同學的組合可以爲：甲乙，甲丙，乙丙.即有 種組合.

又如：從A、B、C、D四個景點選出2個進行遊覽的組合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6種組合，即： 在講解時一定要讓學生去分析：要解決的問題是排列問題還是組合問題，關鍵是看是否與順序有關.那麼又如何計算 呢?

3.組合數公式的推導

⑴提問：從4個不同元素a，b，c，d中取出3個元素的組合數 是多少呢?

啓發： 由於排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數 可以求得，故我們可以考察一下 和 的關係，如下：

組 合 排列

由此可知：每一個組合都對應着6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數 ，可以分如下兩步：① 考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有 個;② 對每一個組合的3個不同元素進行全排列，各有 種方法.由分步計數原理得： = ，所以： .

⑵ 推廣： 一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數 ，可以分如下兩步：① 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數 ;② 求每一個組合中m個元素全排列數 ，根據分佈計數原理得： = ⑶ 組合數的公式：

或 ⑷ 鞏固練習：

1.計算：⑴ ⑵ 2.求證： 3.設 求 的值.

解：由題意可得： 即：24

∵ x=2或3或4

當x=2時原式值爲7;當x=3時原式值爲7;當x=2時原式值爲11.

所求值爲4或7或11.

4.例題講評

例1. 6本不同的書分給甲、乙、丙3同學，每人各得2本，有多少種不同的分

法?

略解： 例2.4名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人實踐活動小組，問組成方法共有多少種?

解法一：(直接法)小組構成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有 ， ， ，所以一共有 + + =100種方法.

解法二：(間接法) 5.學生練習：(課本99練習)

三、小結：

定 義特 點相同組合公 式

排 列

組 合

此外，解決實際問題時首先要看是否與順序有關，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時要利用分類和分步計數原理.

四、作業：課堂作業：教學與測試75課

課外作業：課課練 課時7和8

組 合 ⑵

課題：組合的簡單應用及組合數的兩個性質

目的：深刻理解排列與組合的區別和聯繫，熟練掌握組合數的計算公式;掌握組合數的兩個性質，並且能夠運用它解決一些簡單的應用問題.

過程：

一、複習回顧：

1.複習排列和組合的有關內容：

強調：排列次序性;組合無序性.

2.練習一：

練習1：求證： . (本式也可變形爲： )

練習2：計算：① 和 ; ② 與 ;③ 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792

(此練習的目的爲下面學習組合數的兩個性質打好基礎.)

3.練習二：

⑴ 平面內有10個點，以其中每2個點爲端點的線段共有多少條?

⑵ 平面內有10個點，以其中每2個點爲端點的有向線段共有多少條?

答案：⑴ (組合問題) ⑵ (排列問題)

二、新授：

1.組合數的 性質1： .

理解： 一般地，從n個不同元素中取出m個元素後，剩下n - m個元素.因

爲從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的n - m個元素的每一個組合一一對應，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數，等於從這n個元素中取出n - m個元素的組合數，即： .在這裏，我們主要體現：取法與剩法是一一對應的思想.

證明：∵ 又 注：1 我們規定 2 等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等於下標.

3 此性質作用：當 時，計算 可變爲計算 ，能夠使運算簡化.

例如： = = =2002.

4 或 2.示例一：(課本101例4)一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球.

⑴ 從口袋內取出3個球，共有多少種取法?

⑵ 從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法?

⑶ 從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法?

解：⑴ ⑵ ⑶ 引導學生髮現： .爲什麼呢?

我們可以這樣解釋：從口袋內的8個球中所取出的3個球，可以分爲兩類：一類含有1個黑球，一類不含有黑球.因此根據分類計數原理，上述等式成立.

一般地，從 這n+1個不同元素中取出m個元素的組合數是 ，這些組合可以分爲兩類：一類含有元素 ，一類不含有 .含有 的組合是從 這n個元素中取出m -1個元素與 組成的，共有 個;不含有 的組合是從 這n個元素中取出m個元素組成的，共有 個.根據分類計數原理，可以得到組合數的另一個性質.在這裏，我們主要體現從特殊到一般的歸納思想，含與不含其元素的分類思想.

3.組合數的 性質2： = + .

證明：

= + .

注：1 公式特徵：下標相同而上標差1的兩個組合數之和，等於下標比原下標多1而上標與高的相同的一個組合數.

2 此性質的作用：恆等變形，簡化運算.在今後學習二項式定理時，我們會看到它的主要應用.

4.示例二：

⑴ 計算： ⑵ 求證： = + + ⑶ 解方程： ⑷ 解方程： ⑸ 計算： 和 推廣： 5.組合數性質的簡單應用：

證明下列等式成立：

⑴ (講解) ⑵ (練習) ⑶ 6.處理《教學與測試》76課例題

三、小結：1.組合數的兩個性質;

2.從特殊到一般的歸納思想.

四、作業： 課堂作業：《教學與測試》76課

課外作業：課本習題10.3;課課練課時9

組 合 ⑶

課題：組合、組合數的綜合應用⑴

目的：進一步鞏固組合、組合數的概念及其性質，能夠解決一些較爲複雜的組合應用問題，提高合理選用知識的能力.

過程：

一、知識複習：

1.複習排列和組合的有關內容：

依然強調：排列次序性;組合無序性.

2.排列數、組合數的公式及有關性質

性質1： 性質2： = + 常用的等式： 3.練習：處理《教學與測試》76課例題

二、例題評講：

例1.100件產品中有合格品90件，次品10件，現從中抽取4件檢查.

⑴ 都不是次品的取法有多少種?

⑵ 至少有1件次品的取法有多少種?

⑶ 不都是次品的取法有多少種?

解：⑴ ;

⑵ ;

⑶ .

例2.從編號爲1，2，3，，10，11的共11個球中，取出5個球，使得這5個球的編號之和爲奇數，則一共有多少種不同的取法?

解：分爲三類：1奇4偶有 ;3奇2偶有 ;5奇1偶有 所以一共有 + + .

例3.現有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作;有4名青年能勝任德語翻

譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)，現在要從中挑選5名青年承擔一項任務，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法?

解：我們可以分爲三類：

① 讓兩項工作都能擔任的青年從事英語翻譯工作，有 ;

② 讓兩項工作都能擔任的青年從事德語翻譯工作，有 ;

③ 讓兩項工作都能擔任的青年不從事任何工作，有 .

所以一共有 + + =42種方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，從週一至週六，每人值兩天，但甲不值週一，乙不值週六，問可以排出多少種不同的值周表 ?

解法一：(排除法) 解法二：分爲兩類：一類爲甲不值週一，也不值週六，有 ;另一類爲甲不值週一，但值週六，有 .所以一共有 + =42種方法.

例5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方法?

解：第一步從6本不同的書中任取2本捆綁在一起看成一個元素有 種方法;第二步將5個不同元素(書)分給5個人有 種方法.根據分步計數原理，一共有 =1800種方法.

變題1：6本不同的書全部送給5人，有多少種不同的送書方法?

變題2： 5本不同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同的送書方法?

變題3： 5本相同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同的送書方法?

答案：1. ; 2. ; 3. .

三、小結：1.組合的定義，組合數的公式及其兩個性質;

2.組合的應用：分清是否要排序.

四、作業：《3+X》 組合基礎訓練

《課課練》課時10 組合四

組 合 ⑷

課題：組合、組合數的綜合應用⑵

目的：對排列組合知識有一個系統的瞭解，掌握排列組合一些常見的題型及解題方法，能夠運用兩個原理及排列組合概念解決排列組合問題.

過程：

一、知識複習：

1.兩個基本原理;

2.排列和組合的有關概念及相關性質.

二、例題評講：

例1.6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：

⑴ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本;

⑵ 分爲三份，每份兩本;

⑶ 分爲三份，一份一本，一份兩本，一份三本;

⑷ 分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本;

⑸ 分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

解：⑴ 根據分步計數原理得到： 種.

⑵ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分爲三份，每份兩本，設有x種方法;第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有 種方法.根據分步計數原理可得： ，所以 .因此分爲三份，每份兩本一共有15種方法.

注：本題是分組中的均勻分組問題.

⑶ 這是不均勻分組問題，一共有 種方法.

⑷ 在⑶的基礎上在進行全排列，所以一共有 種方法.

⑸ 可以分爲三類情況：①2、2、2型即⑴中的分配情況，有 種方法;②1、2、3型即⑷中的分配情況，有 種方法;③1、1、4型，有 種方法.所以一共有90+360+90=540種方法.

例2.身高互不相同的7名運動員站成一排，甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種?

解：(插空法)現將其餘4個同學進行全排列一共有 種方法，再將甲、乙、丙三名同學插入5個空位置中(但無需要進行排列)有 種方法.根據分步計數原理，一共有 =240種方法.

例3.⑴ 四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法?

⑵ 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種?

解：⑴ 根據分步計數原理：一共有 種方法.

⑵(捆綁法)第一步從四個不同的小球中任取兩個捆綁在一起看成一個元素有 種方法，第二步從四個不同的盒取其中的三個將球放入有 種方法.所以一共有 =144種方法.

例4.馬路上有編號爲1，2，3，，10的十盞路燈，爲節約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有多少種不同的關燈方法?

解：(插空法)本題等價於在7只亮着的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數爲 種方法.

例5.九張卡片分別寫着數字0，1，2，，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數?

解：可以分爲兩類情況：① 若取出6，則有 種方法;②若不取6，則有 種方法.根據分類計數原理，一共有 + =602種方法.

三、小結：

[高二數學第一教案單元組合分析]